Zeitlich beobachtete Daten sind häufig nicht unabhängig, sondern weisen Abhängigkeiten auf, die von Methoden der klassischen Statistik nicht berücksichtigt werden. In der Zeitreihenanalyse werden diese Abhängigkeiten detailliert untersucht, modelliert sowie die dazugehörigen Modelle mathematisch untersucht.
Vielfach werden Daten erhoben, um das zeitlich-dynamische Verhalten eines zugrunde liegenden stochastischen Prozesses zu analysieren. Von besonderem Interesse ist es hierbei, Veränderungen - so genannte Strukturbrüche oder Changepoints - in den erhobenen Zeitreihen erkennen und datieren zu können. Aktuelle Beispiele finden sich in den Neurowissenschaften oder der Klimatologie, aber auch in der Qualitätskontrolle oder bei Finanzdaten.
Viele nichtparametrische statistische Verfahren (Tests/Konfidenzintervalle) basieren auf asymptotischen Aussagen. Sind die Konvergenzraten langsam, dann sind die dazugehörigen statistischen Aussagen in kleinen Stichproben dementsprechend verzerrt. Resampling-Verfahren wie etwa Bootstrap oder Permutationstests können durch das künstliche Ziehen zusätzlicher Stichproben hier oft eine Verbesserung erzielen. Oft werden auch Bayessche (nichtparametrische) Verfahren zur Zeitreihenanalyse eingesetzt.
Dass immer mehr Daten automatisch erhoben werden, erfordert die Entwicklung neuer statistischer Methoden, um eine automatische, schnelle und doch aussagekräftige Analyse solcher massiver Datensätze zu ermöglichen. Ein Ansatz hierzu besteht darin, Methoden des maschinellen Lernens einzusetzen und mathematisch zu analysieren. Eine weitere Herausforderung in dem Bereich stellt die mathematische Analyse der Validität von Algorithmen der computationellen Statistik sowie des maschinellen Lernens dar.
Mittels funktionaler Datenanalyse werden Datensätze behandelt, bei denen jede Beobachtung aus einer Funktion besteht wie beispielsweise einer Kurve (etwa beim Tagesverlauf einer Aktie) oder einem Bild (etwa bei Computertomographen-Daten). Dies ist ein Spezialfall von hochdimensionaler Datenanalyse, die allgemein multivariate Daten behandelt, bei denen die Anzahl an Dimensionen groß ist im Vergleich zur (oder sogar größer als die) Anzahl an Beobachtungen.
In manchen Anwendungssituationen wird nicht der vollständige Datensatz beobachtet und dann statistisch analysiert, sondern vielmehr werden die Daten erst nach und nach beobachtet. Sequentielle Statistik analysiert die Daten dann bereits während sie eintreffen und kann so möglicherweise frühzeitig einen Alarm auslösen, wenn beispielsweise ein Test signifikant ist oder Änderungen aufgetreten sind.
Die Analyse neurowissenschaftlicher Daten erfordert oft die Entwicklung fortgeschrittener statistischer Methoden. Eine Herausforderung hierbei stellt die Hochdimensionalität der Daten in Kombination mit relativ wenigen Wiederholungen dar. Einige dieser Methoden erfordern die Stationarität der Daten (z.B. Resting-State-fMRI), andere interessieren sich gerade für Nicht-Stationaritäten wie etwa Strukturbrüche (z.B. bewegungsbasierte EEG-Daten). In beiden Fällen stellt die Changepoint-Analyse Schlüssel-Methoden zur Analyse der Daten bereit.
Methoden der Zeitreihenanalyse sind auch in vielen Anwendungen der Natur- und Ingenieurwissenschaften zentral. Beispielsweise ist ein Verständnis der Abhängigkeiten bei Gravitationswellen-Daten (LIGO) nötig um die mit den Daten verbundenen Unsicherheiten besser verstehen zu können. Ein anderes Beispiel sind Remote-Sensing-Daten, die mit Hilfe von Zeitreihen-Methoden analysiert werden.
Eine Übersicht der Publikationen und Preprints finden Sie hier. Dazugehörige Video-Vorträge finden Sie hier.
Projekte
Laufende Projekte
Graduelle Strukturänderungen in funktionalen Daten (gefördert von DFG/GACR) mit M. Wendler (OvGU), Zdenek Hlávka, Šárka Hudecová, Michal Pešta , Marie Hušková (Karls-Universität, Prag) 2022-2025.
Graduiertenkolleg 2297 Mathematische Komplexitätsreduktion (CoRe) (gefördert von der DFG), 2017-2026.
Abgeschlossene Projekte
Detektion von Anomalien in großen räumlichen Bilddaten (Verbundprojekt, gefördert von dem BMBF), 2020-2023.
Neue semiparametrische Ansätze zur Bayesschen Zeitreihenanalyse durch Modifikation der Whittle Likelihood (Phase 1: 2016 - 2018, Phase 2: 2019-2023, gefördert von der DFG).
Resampling-Verfahren für hochdimensionale Changepoint-Tests abhängiger Daten (gefördert vom Ministerium für Wissenschaft, Forschung und Kunst Baden Württemberg)
Zeitreihen mit Strukturbrüchen -- Resampling-Verfahren, sequentielle Detektions-Algorithmen und Anwendungen für Hidden-Markov-Modelle (2010-2014, gefördert von der DFG)
Workshop 'Challenges for statistics in the era of data science'
(7. - 9. Juni 2023 in Hannover, finanziert durch die Volkswagen-Stiftung)
